Indépendance - Exemple 1

Dans un sac contenant 20 jetons numérotés 1 à 20 indiscernables au toucher, on tire au hasard un jeton.

On considère les événements :

• \(\text A\) : « Obtenir un multiple de 5 »
  
• \(\text B\) : « Obtenir un nombre pair »
• \(\text C\)  : « Obtenir au moins 14 »

Les événements  \(\text A\) et  \(\text B\)  sont-ils indépendants ? Qu'en est-il des événements \(\text A\) et  \(\text C\) ?

On a  \(P(\text A) = \dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}\) , \(P(\text B) = \dfrac{1}{2}\)  et  \(P(\text C) = \dfrac{7}{20}\) .

\(\text A \cap \text B\)  est l'événement « Obtenir un nombre pair multiple de 5 ».
Donc  \(P(\text A \cap \text B) = \dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}\) . Or  \(P(\text A) \times P(\text B) = \dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{10}\) .
On a  \(P(\text A \cap \text B) = P(\text A) \times P(\text B)\) , donc les événements  \(\text A\) et  \(\text B\)  sont indépendants.

\(\text A \cap \text C\)  est l'événement « Obtenir un nombre pair supérieur ou égal à 14 ».
Donc  \(P(\text A \cap \text C) = \dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}\) . Or  \(P(\text A) \times P(\text C) = \dfrac{1}{5} \times \dfrac{7}{20} = \dfrac{7}{100}\) .
On a  \(P(\text A \cap \text C) \neq P(\text A) \times P(\text C)\) , donc les événements  \(\text A\) et  \(\text C\)  ne sont pas indépendants.